Перейти к содержимому

В этом видео на канале ЕстествоЗнание разобрано: зоны Френеля, амплитудные и фазовые пластинки Френеля, вывод радиуса зон Френеля.

Свет который отражается от границы раздела двух сред всегда частично линейно поляризован 1, даже когда падающий свет неполяризован. Почему? При каких условиях отражённый свет будет полностью линейно поляризован? Как вычислить угол Брюстера?

Смотрите объяснение в видео на канале ЕстествоЗнание:

1 кроме случая нормального падения

Здесь выводится формула Планка и многое другое что для неё нужно: формула Рэлея-Джинса, энергия квантового гармонического осциллятора при температуре Т, число мод электромагнитного излучения в единице объёма и т. д.:

Здесь есть список статей в категории "Геометрическая оптика":

Вот список статей в категории "Волновая оптика":

Часть задач по волновой оптике (без решений) можно скачать с сайта ЕстествоЗнание в формате pdf.

Задача.Из граничных условий для уравнений Максвелла, выведите формулы Френеля для нормального падения света из среды с показателем преломления \(n_1\) в среду с показателем преломления \(n_2\). Будет ли наблюдаться отражение на границе двух различных сред с одинаковыми показателями преломления? Как из результатов Вашего вывода следует правило о потере полуволны при отражении от оптической более плотной среды? Для упрощения вывода, считайте магнитные проницаемости обеих сред равными единице.
Задача. Выведите радиус n-й зоны Френеля когда источник на расстоянии а, а наблюдатель на расстоянии б
Задача.Выведите выражение для интенсивности от дифракции Фраунгофера на щели. Дано: ширина щели \(d\), расстояние до экрана \(L\).
Задача.Выведите выражение для расстояния между соседними светлыми полосами в опыте Юнга. Дано: ширина щелей \(d\), расстояние между ними \(l\), расстояние до экрана \(L\).
Задача.Выведите выражение для угла Брюстера при переходе света из среды с показателем преломления \(n_1\) в среду с показателем преломления \(n_2\).
Задача.Дан свет, левополяризованный эллиптически. Эксцентриситет эллипса равен 0,5. Разложите этот свет на линейную и круговую поляризацию.
Задача.Выведите выражение для дифракционных максимумов отражающей и пропускающей дифракционной решётки. Начиная с какого порядка спектры видимого света (длины волн 450-700 нм) соседних порядков начинают перекрываться?
Задача. Как соотносятся напряжённости в центре, создаваемые а) амплитудной пластинкой Френеля на N зон (чётные зоны открыты, нечётные закрыты) б) фазовой пластинкой Френеля на N зон (при прохождении через нечётнрые зоны фаза изменяется на \(\pi\)) в) линзой на N зон г) одной открытой зоной Френеля д) линзой Френеля на N зон?
Задача. Получите выражение для интенсивности дипольного излучения заряда q гармонически колеблющегося вдоль оси \(x\) с частотой \(\omega\) с амплитудой \(x_0\). Как будет поляризовано это излучение?
Задача. Используя классическую механику и планетарную модель атома Резерфорда, получите выражение для частотного сдвига в эффекте Зеемана. Как будут поляризованы сдвинутое и не сдвинутое по частоте излучение?


Задача.В квантовой механике в гармоническом осцилляторе с частотой \(\nu\) при термодинамическом равновесии при температуре Т содержится энергия: \[\begin{aligned}
<E>=\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\end{aligned}\]
Используя это выражение, выведите формулу Планка (формулу для плотности энергии излучения на данной частоте при термодинамическом равновесии при температуре Т). Получите классический предел формулы Планка, формулу Релея-Джинса и укажите где возникает т. н. ультрафиолетовая катастрофа.
Задача. Выведите формулу для нерелятивистского эффекта Допплера
Задача.Посчитайте фазовую и групповую скорость электромагнитного излучения с частостой \(\omega\) в плазме электронов с концентрацией \(n\). Какая из этих скоростей больше, а какая меньше скорости света?
Задача.Используя уравнения Максвелла, выведите выражение для скорости распространения света в однородной среде с диэектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и магнитной проницаемостью \(\mu\). Вы получили выражение для фазовой или групповой скорости? Получите также выражение для соотношения амплитуд \(E, D, B, H\) в плоской волне, а также их взаимную ориентацию по отношению друг к другу и по отношению к вектору направления распространения волны.
Задача.Как изменится картина в опыте Юнга, если мы посветим на две щели параллельным пучком света не перперндикулярно к экрану где сделаны щели, под некоторым углом к ним?
Задача.Каково соотношение между величинами и направлениями \(E,B,D,H,k,\omega\) в плоской волне, распространяющейся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и магнитной проницаемостью \(\mu\)?
Ответ   Уравнения Максвелла \[\begin{cases}
div\vec D = 4\pi\rho_{free}
\\
rot\vec E = -\frac 1c \frac{\partial \vec B}{\partial t}
\\
div\vec B = 0
\\
rot\vec H = \frac{4\pi}{c} \vec j_{free} +\frac 1c \frac{\partial\vec D}{\partial t}
\end{cases}\]
Если среда однородная и изотропная, то электрическая напряженность \(\vec E\) и магнитная напряженность \(\vec H\) связаны с вектором электрической индукции \(\vec D\) и вектором магнитной индукции \(\vec B\) следующим образом: \(\vec D = \varepsilon \vec E\), \(\vec B = \mu \vec H\)
Т. к. уравнения Максвелла линейны, будем искать решения уравнений Максвелла в виде: \[\begin{aligned}
\vec{E} = \vec {E_o}e^{i(\omega t - (\vec k,\vec r) )}
\\
\frac{\partial \vec E}{\partial t} = i\omega \vec E_o e^{i(\omega t - (\vec k,\vec r) )} = i\omega \vec E
\\
\frac{\partial \vec E}{\partial x} = - i k_x \vec E \Rightarrow
\vec {\nabla} = -i \vec k\end{aligned}\]
Подставляем: \[\begin{aligned}
div\vec D = 0 \Rightarrow div \vec E = [ \vec\nabla \times \vec E] = 0 \Rightarrow \vec k \perp \vec E
\\
div\vec B = 0 \Rightarrow div \vec H = [ \vec\nabla \times \vec H] = 0 \Rightarrow \vec k \perp \vec H
\\
rot\vec E = -\frac 1c \frac{\partial B}{\partial t} \Rightarrow [ \vec\nabla \times \vec E] = -\frac{\mu}{c} \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nonumber \Rightarrow -i[ \vec k , \vec E] = -\frac{\mu}{c} i\omega\vec H \Rightarrow [ \vec k \times \vec E] = \frac{\mu}{c} \omega \vec H \Rightarrow \vec E \perp \vec H \perp \vec k \end{aligned}\]

Получаем, что вектора \(\vec{k},\vec{E},\vec{B}\) взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов. Рассмотрим модули векторов \[\begin{aligned}
kE = \frac{\mu}{c} \omega H \Rightarrow \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt {\varepsilon \mu}} \quad kH=\frac{\varepsilon\omega}{c}E \Rightarrow\\
\frac{\omega^2}{k^2}=\frac{c^2}{\mu\varepsilon} \Rightarrow \\
E = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}H,\quad D = \varepsilon E
\\
H = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E, \quad B = \mu H \end{aligned}\]

Задача.Почему небо голубое, а Солнце на закате красное?
Задача.Пусть интерферируют два пучка с напряжённостями \(E_1,E_2\). Каков будет результат интерференции если разность хода равна а) \(\lambda\) б) \(\lambda/2\) в) \(3\lambda/4\) г) \(\lambda/3\). Выведите формулу для произвольной разности хода \(d\).
Ответ  Интенсивность \(J\) и напряженность \(E\) связаны: \(J \sim E^2\). Интенсивность двух полей \(J_{\sum} = J_1 + J_2 +2\sqrt{J_1J_2}cos(\delta \varphi)\). Разность хода \(\Delta\) и разность фазы \(\delta\varphi\) связаны: \(\Delta = \frac{\lambda}{2\pi} \delta\varphi\).
а) \(\Delta = \lambda: J_{\sum}=J_1+J_2+2\sqrt{J_1J_2}\).
б) \(\Delta = \frac{\lambda}{2} : J_{\sum}=J_1+J_2-2\sqrt{J_1J_2}\)
в) \(\Delta = \frac{3\lambda}{4} : J_{\sum}=J_1+J_2\)
г) \(\Delta = \frac{\lambda}{3} : J_{\sum}=J_1+J_2-\sqrt{J_1J_2}\)
д) \(\Delta = X: J_{\sum} = J_1 + J_2 +2\sqrt{J_1J_2}cos(\frac{2\pi}{\lambda} X)\)


Задача.Откуда взялось \(\frac18\) в выводе формулы Планка или Рэлея-Джинса? Иными словами, объём сферического слоя равен \(4\pi k^2dk\), а у нас в формуле мы рассматриваем только объём \(\frac{\pi}{2}k^2dk\).
Задача.Как работает антибликовый фильтр на фотоаппарат?
Задача.Определение зон Френеля гласит, что разность хода от краёв зоны Френеля равна \(\lambda/2\). По этому определению, понятно почему напряжённости от соседних зон Френеля представляются противоположно направленными векторами, но непонятно почему длины этих векторов равны. Почему равны длины векторов от разных зон Френеля (по-другому, почему от каждой зоны Френеля напряжённость одинакова?)
Задача.
Какой фазовый множитель приобретается при потере а) \(\lambda\) б) \(\lambda/2\) в) \(3\lambda/4\) г) произвольного \(\Delta x\)? Заполнить таблицу .

соответствующие значение разности хода, фазового сдвига, разности хода
Разность хода Фазовый множитель разность фазы
0 ? ?
\(\frac34\lambda\) ? ?
\(\frac{-\lambda}{2}\) ? ?
\(\frac23\lambda\) ? ?
\(-\lambda\) ? ?
? 1 ?
? -1 ?
? \(i\) ?
? \(-i\) ?
? \(e^{\frac{2\pi}{3}i}\) ?
? ? 0
? ? \(-\frac{\pi}{6}\)
? ? \(\frac{\pi}{2}\)
? ? \(\pi\)
? ? \(\frac{4\pi}{3}\)


Ответ   см. таблицу

соответствующие значение разности хода, фазового сдвига, разности хода. Заполненная таблица [tab:fazy].
Разность хода Фазовый множитель разность фазы
0 1 0
\(\frac34\lambda\) -i \(\frac{3\pi}{2}\)
\(-\frac{\lambda}{2}\) -1 \(-\pi\)
\(\frac23\lambda\) \(e^{\frac{4\pi}{3}i}\) \(\frac{4\pi}{3}\)
\(-\lambda\) 1 \(-2\pi\)
\(\lambda\) 1 \(2\pi\)
\(\frac12\lambda\) -1 \(\pi\)
\(\frac14\lambda\) \(i\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac34\lambda\) \(-i\) \(\frac{3\pi}{2}\)
\(\frac13\lambda\) \(e^{\frac{2\pi}{3}i}\) \(\frac{2\pi}{3}\)
0 1 0
\(-\frac{\lambda}{12}\) \(e^{\frac{\pi}{6}i}\) \(-\frac{\pi}{6}\)
\(\frac12\lambda\) i \(\frac{\pi}{2}\)
\(\lambda\) -1 \(\pi\)
\(\frac23\lambda\) \(e^{\frac{4\pi}{3}i}\) \(\frac{4\pi}{3}\)

Задача. На амплитудную пластинку Френеля, сделанную для \(a=b=20\) см, \(\lambda_0=500\) нм, падает параллельный пучок света с длиной волны \(\lambda=1000\) нм. Что произойдёт со светом после прохождения зонной пластинки Френеля?
Задача.Сколько фокусов у амплитудной пластинки Френеля с \(N\) зонами? А у фазовой?
Задача.Нарисуйте картинку нормального падения линейнополяризованной электромагнитной волны на поверхность раздела сред для случая а) падения в более оптическую плотную среду б) падения в оптически менее плотную среду. Из рисунка должны быть видны относительные величины, направления векторов \(\vec{E},\vec{B}\). Для простоты считать \(\mu=1\) для обеих сред.
Задача.Найдите угол, на который расходится пучок света длиной волны \(\lambda\). Ширина пучка равна \(d\).Для оценки этого угла возпользуйтесь формулой для интенсивности дифракции Фраунгофера на щели.
Задача.Нарисуйте картину получаемую от дифракционной решётки с \(N=5\) щелями и безконечно малой шириной одной щели.
Задача. На пианино играют ноту "Ми". Слушатель слышит ноту "Фа" той же октавы. С какой скоростью и в каком направлении двигается пианино? Пусть нота Ля первой октавы, Ми и Фа - второй октавы. Ноту Ми играют на пианино, приемник регистрирует ноту Фа.
Ответ   \(\nu_{La} = f_1 = 440\) Гц. Известно, что отношение частот двух соседних полутонов \(q = \sqrt[12]{2}\). Тогда \(\nu_{Mi} = f_1 q^{7}\), \(\nu_{Fa} = f_1 q^{8}\). \(\nu_{Mi} < \nu_{Fa}\,\,\, \Rightarrow\) частота принимаемого излучения больше чем частота излучения, поэтому пианино движется в сторону к наблюдателю-приемнику (эффект Доплера) со скоростью \[\begin{aligned}
v = v_{sound}\frac{\nu_2-\nu_1}{\nu_1} \approx 20,4 \quad {\rm m/s.}\end{aligned}\]

We now turn to more complex optical systems, including systems which have lenses that are thick enough that we must consider the refractions at the leading and trailing surfaces separately. To start, consider a spherical thick lens, that is a lens whose thickness along its optical axis cannot be ignored without leading to serious errors in analysis. Exactly when a lens moves from the thin to thick category depends on the accuracy required. We can treat the thick lens exactly the way we described the thin lens; viewing it as a glass medium bounded by two spherical refracting surfaces. The image of a given object, formed by refraction at the first surface, becomes the object for refraction at the second surface. The object distance for the second surface takes into account the thickness of the lens. The image formed by the second surface is then the final image due to the action of the composite thick lens.

 

Cardinal Points

The thick lens can also be described in a way that allows graphical determination of images corresponding to arbitrary objects, much like the ray rules for a thin lens. This description, in terms of the cardinal points of the lens, is useful because it can be applied to more complex optical systems.

There are six cardinal points on the axis of a thick lens, from which its imaging properties can be deduced. Planes normal to the axis at these points are called cardinal planes. The six cardinal points consist of the first and second system focal points (F1 and F2), the first and second principal points (H1 and H2), and the first and second nodal points (N1 and N2).

 

A ray from the first focal point F1 is rendered parallel to the axis and a ray parallel to the axis is refracted by the lens through the second focal point F2. The extensions of the incident and resultant rays in each case intersect, by definition, in the principal planes, and these cross the axis at the principle points H1 and H2. Once the principle planes are known, accurate ray diagrams can be drawn. The usual rays, determined by the focal points, bend at their intersections with the principal planes. The third ray usually drawn for thin-lens diagrams is one through the lens center, undeviated and negligibly displaced. The nodal points of a thick lens, or of any optical system, permit the correction to this ray. Any ray directed toward the first nodal point N1 emerges from the optical system parallel to the incident ray, but displaced so that it appears to come from the second nodal point on the axis N2.

 

The positions of all six cardinal points are shown in the figure below:

 

Distances are directed, positive or negative by a sign convention that makes distances directed to the left negative and distances to the right positive. Notice that for the thick lens, the distances r and s determine the positions of the principle points relative to the vertices V1 and V2, while f1 and f2 determine focal point positions relative to the principle points. It is important to note that these focal points are not measured from the vertices of the lens.

 

Equations Governing Thick Lenses

We can summarize the basic equations for the thick lens without proof. Utilizing the symbols defined above, the focal length f1 is given by

formula     (10.1)

 

and the focal length f2 is conveniently expressed in terms of f1 by

formula   (10.2)

 

Notice that the two focal lengths have the same magnitude if the lens is surrounded by a single refractive medium, so that n' = n. The principal planes can be located next using

formula      (10.3)

 

The position of the nodal points are given by

formula   (10.4)

 

Notice that when n = n', we get that r = v and s = w.

 

Matrix Methods

When the optical system consists of several elements, we need a systematic approach that facilitates analysis. As long as we restrict our analysis to paraxial rays, this systematic approach is well handled by the matrix method. The figure below shows the progress of a single ray through an arbitrary optical system.

 

 

The ray is described at distance x0 from the first refracting surface in terms of its height y0 and slope angle 0 relative to the optical axis. Changes in angle occur at each refraction, such as at points 1 through 5, and at each reflection, such as point 6. The height of the ray changes during translations between these points. We want a procedure that will allow us to calculate the height and slope angle of the ray at any point in the optical system, for example at point 7, which is a distance x7 from the mirror.

 

Ray Transfer Matrix

Consider a simple translation of the ray in a homogeneous medium.

 

drawing

 

Let the axial progress of the ray be L such that at point 1 the elevation and direction are given by y1 and 1 respectively. Then we have that    formula    and     formula

These equations may be put into matrix notation, where the paraxial approximation    formula    has been used,

formula    (10.5)

 

This is known as the ray transfer matrix, and it represents the effect of the translation on the ray. It can be written in standard form by rescaling the vector describing the ray,

formula    (10.6)

 

where   n sub l    is the index of refraction of the th medium. The transfer matrix then becomes

formula      (10.7)

 

Refraction Matrix

Consider next the refraction of a ray at a spherical surface separating media of refractive indices n and n'.

 

drawing

 

Since refraction occurs at a point, there is no change in elevation, and y = y'. The angle ', on the other hand, is given by

formula

Similarly,

formula

 

Using the paraxial form of Snell's law we get

formula

 

Writing this and y = y' in matrix form, we get

formula     (10.8)

 

This is known as the refraction matrix. Notice that we use the same sign convention as earlier. If the surface is convex, R is positive, but if the surface were to be concave, then R is negative. Furthermore, if we allow    formula   we get the appropriate refraction matrix for a plane interface. Using   r sub l   to write this in standard form yields

formula    (10.9)

 

Reflection Matrix

Finally, consider reflection at a spherical surface. Since a mirror is so much like a lens, the reflection matrix is very similar to the refraction matrix. To find the reflection matrix, we make the substitution

formula

 

This leads to the reflection matrix

formula     (10.10)

 

System Matrix

The matrix description of a lens can be simplified by realizing that when a ray passes through the lens, refraction occurs twice, once at each surface, with a translation between the surfaces. Therefore, in order to describe the lens, we can combine the three relevant matrices together to form the system matrix

formula     (10.11)

 

Notice that the matrices are multiplied together from right to left.

Using these matrices, any arbitrary lens and mirror system can be analyzed. The various elements in the system are multiplied together, with the later matrices being inserted on the left. For example, the general equation describing the lens system given earlier would be r7 = T7MT6S5S4T3S2T1 r0.

As can be seen, these problems can become very complicated very rapidly. One way to simplify the problem is to recognize that all of the matrices which describe a lens system are unitary; that is they have a determinant of 1. The result of multiplying together unitary matrices is another unitary matrix, so the final matrix should also have a determinant of one.

 

Last updated: July 23, 1997

Source: D-Suson@tamuk.edu


Вот вопросы по астрономии, взятые из пробных ЕГЭ по физике (24е вопросы к ЕГЭ по физике):
Вопросы по астрономии из ЕГЭ - в формате pdf
Вопросы по астрономии из ЕГЭ - в формате odt

Увеличение телескопа - это отношение углового размера изображения к угловому размеру источника.

Т. к. телескоп работает на большие расстояния, обычно линейный размер источника и изображения плохо определены - на бесконечности они оба бесконечны.

Итак, рассмотрим два пучка лучей, заходящих в наш телескоп - один заходит параллельно главной оптической оси, другой под углом \(\alpha\) (смотри схему расчёта увеличения телескопа Кеплера).

Схема расчёта увеличения телескопа Кеплера
Схема расчёта увеличения телескопа Кеплера

Изображение наклонного пучка будет построено на расстоянии \(h=F\alpha\) от главной оптической оси. В этом выражении мы считаем угол \(\alpha\) малым. Фокальные плоскости объектива и окуляра совпадают. Изображение наклонного пучка будет в фокальной плоскости окуляра, поэтому наклонный пучок после прохождения через окуляр будет параллельным пучком лучей. После выхода из окуляра, наклонный пучок будет двигаться под углом \(\beta\) к главной оптической оси. По определению, увеличение телескопа равно
\[
\Gamma=\frac{\beta}{\alpha}
\]
Величина \(h\) на рисунке равна \(h=F\alpha=f\beta\). Таким образом, увеличение телескопа будет равно:
\[
\Gamma=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{F}{f}.
\]

Телескопы других систем

Выше, мы использовали параксиальное приближение (нет тригонометрии из-за малости углов) и приближение тонкой линзы (потому что луч, идущий через центр линзы, не преломляется). Однако, даже в случае телескопа Кеплера, приближение тонкой линзы обычно неприменимо  - объектив почти всегда склеен из двух линз для преодоления хроматической аберрации. Ясно что для телескопов других оптических систем рассмотренный нами вывод тоже неприменим. Однако, не стоит расстраиваться. Фокусное расстояние объектива и окуляра обычно определяются так чтобы эта формула была верна. Поэтому эта формула верна и для телескопов других систем.