Перейти к содержимому

Здесь есть список статей в категории "Геометрическая оптика":

We now turn to more complex optical systems, including systems which have lenses that are thick enough that we must consider the refractions at the leading and trailing surfaces separately. To start, consider a spherical thick lens, that is a lens whose thickness along its optical axis cannot be ignored without leading to serious errors in analysis. Exactly when a lens moves from the thin to thick category depends on the accuracy required. We can treat the thick lens exactly the way we described the thin lens; viewing it as a glass medium bounded by two spherical refracting surfaces. The image of a given object, formed by refraction at the first surface, becomes the object for refraction at the second surface. The object distance for the second surface takes into account the thickness of the lens. The image formed by the second surface is then the final image due to the action of the composite thick lens.


Cardinal Points

The thick lens can also be described in a way that allows graphical determination of images corresponding to arbitrary objects, much like the ray rules for a thin lens. This description, in terms of the cardinal points of the lens, is useful because it can be applied to more complex optical systems.

There are six cardinal points on the axis of a thick lens, from which its imaging properties can be deduced. Planes normal to the axis at these points are called cardinal planes. The six cardinal points consist of the first and second system focal points (F1 and F2), the first and second principal points (H1 and H2), and the first and second nodal points (N1 and N2).


A ray from the first focal point F1 is rendered parallel to the axis and a ray parallel to the axis is refracted by the lens through the second focal point F2. The extensions of the incident and resultant rays in each case intersect, by definition, in the principal planes, and these cross the axis at the principle points H1 and H2. Once the principle planes are known, accurate ray diagrams can be drawn. The usual rays, determined by the focal points, bend at their intersections with the principal planes. The third ray usually drawn for thin-lens diagrams is one through the lens center, undeviated and negligibly displaced. The nodal points of a thick lens, or of any optical system, permit the correction to this ray. Any ray directed toward the first nodal point N1 emerges from the optical system parallel to the incident ray, but displaced so that it appears to come from the second nodal point on the axis N2.


The positions of all six cardinal points are shown in the figure below:


Distances are directed, positive or negative by a sign convention that makes distances directed to the left negative and distances to the right positive. Notice that for the thick lens, the distances r and s determine the positions of the principle points relative to the vertices V1 and V2, while f1 and f2 determine focal point positions relative to the principle points. It is important to note that these focal points are not measured from the vertices of the lens.


Equations Governing Thick Lenses

We can summarize the basic equations for the thick lens without proof. Utilizing the symbols defined above, the focal length f1 is given by

formula     (10.1)


and the focal length f2 is conveniently expressed in terms of f1 by

formula   (10.2)


Notice that the two focal lengths have the same magnitude if the lens is surrounded by a single refractive medium, so that n' = n. The principal planes can be located next using

formula      (10.3)


The position of the nodal points are given by

formula   (10.4)


Notice that when n = n', we get that r = v and s = w.


Matrix Methods

When the optical system consists of several elements, we need a systematic approach that facilitates analysis. As long as we restrict our analysis to paraxial rays, this systematic approach is well handled by the matrix method. The figure below shows the progress of a single ray through an arbitrary optical system.



The ray is described at distance x0 from the first refracting surface in terms of its height y0 and slope angle 0 relative to the optical axis. Changes in angle occur at each refraction, such as at points 1 through 5, and at each reflection, such as point 6. The height of the ray changes during translations between these points. We want a procedure that will allow us to calculate the height and slope angle of the ray at any point in the optical system, for example at point 7, which is a distance x7 from the mirror.


Ray Transfer Matrix

Consider a simple translation of the ray in a homogeneous medium.




Let the axial progress of the ray be L such that at point 1 the elevation and direction are given by y1 and 1 respectively. Then we have that    formula    and     formula

These equations may be put into matrix notation, where the paraxial approximation    formula    has been used,

formula    (10.5)


This is known as the ray transfer matrix, and it represents the effect of the translation on the ray. It can be written in standard form by rescaling the vector describing the ray,

formula    (10.6)


where   n sub l    is the index of refraction of the th medium. The transfer matrix then becomes

formula      (10.7)


Refraction Matrix

Consider next the refraction of a ray at a spherical surface separating media of refractive indices n and n'.




Since refraction occurs at a point, there is no change in elevation, and y = y'. The angle ', on the other hand, is given by





Using the paraxial form of Snell's law we get



Writing this and y = y' in matrix form, we get

formula     (10.8)


This is known as the refraction matrix. Notice that we use the same sign convention as earlier. If the surface is convex, R is positive, but if the surface were to be concave, then R is negative. Furthermore, if we allow    formula   we get the appropriate refraction matrix for a plane interface. Using   r sub l   to write this in standard form yields

formula    (10.9)


Reflection Matrix

Finally, consider reflection at a spherical surface. Since a mirror is so much like a lens, the reflection matrix is very similar to the refraction matrix. To find the reflection matrix, we make the substitution



This leads to the reflection matrix

formula     (10.10)


System Matrix

The matrix description of a lens can be simplified by realizing that when a ray passes through the lens, refraction occurs twice, once at each surface, with a translation between the surfaces. Therefore, in order to describe the lens, we can combine the three relevant matrices together to form the system matrix

formula     (10.11)


Notice that the matrices are multiplied together from right to left.

Using these matrices, any arbitrary lens and mirror system can be analyzed. The various elements in the system are multiplied together, with the later matrices being inserted on the left. For example, the general equation describing the lens system given earlier would be r7 = T7MT6S5S4T3S2T1 r0.

As can be seen, these problems can become very complicated very rapidly. One way to simplify the problem is to recognize that all of the matrices which describe a lens system are unitary; that is they have a determinant of 1. The result of multiplying together unitary matrices is another unitary matrix, so the final matrix should also have a determinant of one.


Last updated: July 23, 1997

Source: D-Suson@tamuk.edu

Увеличение телескопа - это отношение углового размера изображения к угловому размеру источника.

Т. к. телескоп работает на большие расстояния, обычно линейный размер источника и изображения плохо определены - на бесконечности они оба бесконечны.

Итак, рассмотрим два пучка лучей, заходящих в наш телескоп - один заходит параллельно главной оптической оси, другой под углом \(\alpha\) (смотри схему расчёта увеличения телескопа Кеплера).

Схема расчёта увеличения телескопа Кеплера
Схема расчёта увеличения телескопа Кеплера

Изображение наклонного пучка будет построено на расстоянии \(h=F\alpha\) от главной оптической оси. В этом выражении мы считаем угол \(\alpha\) малым. Фокальные плоскости объектива и окуляра совпадают. Изображение наклонного пучка будет в фокальной плоскости окуляра, поэтому наклонный пучок после прохождения через окуляр будет параллельным пучком лучей. После выхода из окуляра, наклонный пучок будет двигаться под углом \(\beta\) к главной оптической оси. По определению, увеличение телескопа равно
Величина \(h\) на рисунке равна \(h=F\alpha=f\beta\). Таким образом, увеличение телескопа будет равно:

Телескопы других систем

Выше, мы использовали параксиальное приближение (нет тригонометрии из-за малости углов) и приближение тонкой линзы (потому что луч, идущий через центр линзы, не преломляется). Однако, даже в случае телескопа Кеплера, приближение тонкой линзы обычно неприменимо  - объектив почти всегда склеен из двух линз для преодоления хроматической аберрации. Ясно что для телескопов других оптических систем рассмотренный нами вывод тоже неприменим. Однако, не стоит расстраиваться. Фокусное расстояние объектива и окуляра обычно определяются так чтобы эта формула была верна. Поэтому эта формула верна и для телескопов других систем.

ГОЛ - Геометрическое отслеживание лучей, полностью бесплатная программа с открытыми источниками, написанная на языке GNU Octave/Matlab. В возможности программы входит:

  • создание и редактирование оптических элементов
  • отслеживание лучей через оптические системы
  • расчёт распределения интенсивностей, точек прихода лучей (Spot Diagram)
  • отображение созданных пользователем оптических элементов и целых систем
  • отображение пути лучей
  • Новинка: Графическая оболочка!
  • Новинка: Автоматический подбор параметров для оптимизации качества изображения! (поддерживается только оптимизация вращательно-симметричных систем, по вращению вокруг главной оптической оси)

Скачать программу можно здесь:
ГОЛ от 25 января 2019 года
ГОЛ от 28 февраля 2019 года - первая версия с графической оболочкой и оптимизацией!
ГОЛ от 25 марта 2019 года - версия с включённым файлом демонстрации golDemo.m, эту версию можно скачать также в формате архива tar.bz2: ГОЛ от 25 марта 2019 года в формате tar.bz2

Для версий начиная с 25 марта 2019 года доступен файл демонстрации возможностей программы golDemo.m. В нём показано как делать основные операции в программе ГОЛ: создать оптическую систему, рассчитать положение фокальной плоскости по параксиальному приближению, рассчитать матрицу оптической системы, провести оптимизацию параметров оптической системы.
Полная документация для программы ГОЛ находится в процессе разработки. Функции частично задокументированы в комментариях к ним недалеко от их объявления в исходном коде. Самый простой способ изучить программу ГОЛ - это скачать исходный код, начать его осваивать на примерах, а при возникновении вопросов писать команде разработчиков на адрес gol@jestestvoznanie.ru

Как и любая программа с открытыми источниками, ГОЛ находится в постоянной разработке. Скачать последнюю (не всегда стабильную) версию программы можно из нашего хранилища на ГитХабе: https://github.com/YuryStrelkov/GeometricRayTracer

Программа ГОЛ распространяется на условиях Универсальной Общественной Лицензии GNU (Gnu General Public license, GNU GPL) версии 3. Программа ГОЛ создана усилиями группы энтузиастов из Самарского университета, главным образом, Юрия Станиславовича Стрелкова.

Если Вы хотите попробовать свои силы в самых началах оптики, или освежить свои знания, скачивайте Задачи по геометрической оптике.

В этой статье мы рассмотрим расчёт положения фокуса, величины выноса и, соответственно, увеличения, телескопа Максутова-Кассегрена. Расчёт будет производиться в параксиальном приближении, в пренебрежении толщиной мениска, а также его хроматизмом.

схема телескопа Максутова с обозначением всех расстояний
Оптическая схема телескопа Максутова-Кассегрена. Зеркальные поверхности обозначены тёмно-серым цветом. Мениск в схеме Максутова-Кассегрена обычно отрицательный, поэтому диаметр главного зеркала должен быть больше чем входной диаметр системы, диаметр мениска. R1, R2 - радиусы кривизны поверхностей мениска, Rmm - радиус кривизны главного зеркала.

1 Немного об обозначениях

Договоримся об обозначениях и названиях. Телескоп Максутова-Кассегрена состоит из трёх оптических элементов: главного зеркала, мениска и вторичного зеркала. Часто (но не всегда) вторичное зеркало напыляют прямо на внутренней стороне мениска. Именно такой случай рассмотрен в этой статье и изображён на схеме, хотя нетрудно изменить вычисления для случая когда вторичное зеркало сделано отдельно от мениска. Главными характеристиками телескопа Максутова-Кассегрена являются диаметр входного зрачка, вынос фокальной плоскости (часто называемый просто выносом) и фокусное расстояние.
Выносом называется расстояние от центра главного зеркала до фокальной плоскости телескопа (на схеме расстояние \(b\)).
Ясно, что вынос телескопа очень важен для проектирования всей оптической системы. Он должен быть достаточно большим для того чтобы физически было место закрепить окуляр/приёмник света за фокальной плоскостью.

2 Расчёт выноса

Итак, раз мы рассчитываем телескоп, на него падает из бесконечности параллельный пучок лучей. Пучок лучей падает на мениск с радиусами кривизны поверхностей \(R_1,R_2\). Фокусное расстояние мениска можно найти по общей формуле: \[\begin{aligned}
где \(n\) - показатель преломления мениска. Здесь правильно учтены ориентации радиусов \(R_1\) и \(R_2\). Обычно, для телескопов Максутова-Кассегрена мениск отрицательный, соответственно, радиус кривизны \(R_1\) меньше чем \(R_2: \quad R_1<R_2\), и \(f_m\) - величина отрицательная. Именно такой случай изображён на схеме.
В случае отрицательного мениска мнимое изображение будет находится на расстоянии \(-f_m\) слева от линзы, что и отмечено на схеме.
После преломления в мениске, расходящийся пучок лучей идёт на главное зеркало. Этот пучок расходится из точки где мениск построил изображение, на расстоянии \(-f_m\) от мениска и \(A=D-f_m\) от главного зеркала. Подставляем это расстояние в формулу зеркала и находим из неё расстояние от главного зеркала до изображения в нём, \(B\): \[\begin{aligned}
A=D-f_m \\
\frac{1}{A}+\frac{1}{B}=\frac{2}{R_{mm}} \\
Далее, лучи, отражённые от главного зеркала, попадают на вторичное зеркало. Расстояние от источника до вторичного зеркала равно \(A_1=B-D\), расстояние до изображения равно \(B_1\). Вторичное зеркало находится в сходящемся пучке, и поэтому расстояние от источника до зеркала в формуле зеркала берётся со знаком "минус" (т. е. можно сказать что источник в данном случае мнимый). Изображение же действительное, расстояние до него в формуле зеркала берётся со знаком плюс. Ну и сама оптическая сила зеркала берётся со знаком минус потому что зеркало выпуклое. Итак: \[\begin{aligned}
A_1=B-D \\
-\frac{2}{R_2}=-\frac{1}{A_1}+\frac{1}{B_1} \label{urvtorzer} \\
Вынос самого телескопа, \(c\), будет равен: \[\begin{aligned}

2.1 Пример расчёта значения выноса

Для параметров, заявленных в задачах по геометрической оптике на сайте ЕстествоЗнание ( \(R_{mm}=435\) мм, \(R_1=150\) мм, \(R_2=300\) мм, \(D=200\) мм.), вынос телескопа по этим формулам получается равен \(88.70\) мм.

2.2 Точный подсчёт выноса в программе ГОЛ

Напоминаем, что это значение выноса посчитано в предположениях, описанных в начале статьи. Посчитать значение выноса точно можно с помощью программы ГОЛ - Геометрическое Отслеживание Лучей. С помощью программы ГОЛ, можно посчитать значение выноса в разных приближениях: в параксиальном приближении, но без пренебрежения толщиной мениска и зеркала с помощью матричного метода (функция getMatrixMaksPar возвращает матрицу оптической системы как первое значение), и точно, без всяких приближений (функция widthMaksTelPar возвращает вынос телескопа как второе значение).

2.3 Изменение положения фокальной плоскости

Для того чтобы собрать телескоп Максутова, необходимо знать как изменить положение фокальной плоскости. После того как все компоненты изготовлены, мы можем менять только один параметр системы: \(D\). Как меняется положение фокальной плоскости при изменении расстояния между главным зеркалом и мениском? Из формулы видно, что \(A_1\) должно быть чуть меньше фокусного расстояния вторичного зеркала, т. е. "мнимый источник" (точка Б) будет между фокусом и зеркалом. Когда точка Б будет ровно в фокусе вторичного зеркала, отражённый пучок света будет параллельным, и изображение будет на бесконечности. Поэтому чем ближе точка Б к фокусу вторничного зеркала, тем больше будет фокальная плоскость от телескопа. Поэтому, чем ближе мениск к вторичному зеркалу, тем дальше будет фокальная плоскость. Тот же самый результат можно было бы получить и из формального рассмотрения формулы. Другими словами, если мы двигаем мениск вправо, то фокальная плоскость тоже двигается вправо, вынос увеличивается и увеличение телескопа тоже соответственно увеличивается. Это полезно иметь в виду при сборке телескопа.

3 Расчёт фокусного расстояния

После того как все величины для выноса подсчитаны, расчёт фокусного расстояния произвести гораздо проще. Мы будем использовать обозначения из предыдущего раздела.
Допустим, на систему падают два параллельных пучка лучей: лучи в одном пучке парраллельны главной оптической оси, лучи в другом пучке параллельны друг другу и образуют с главной оптической осью малый угол \(\alpha\). Тогда мениск построит мнимое изображение наклонного пучка будет на расстоянии \(-f_m\alpha\) от главной оптической оси. Расстояние от изображения наклонного пучка в главном зеркале будет равно \[\begin{aligned}
-f_m\alpha\times \frac{B}{A}\end{aligned}\]
Расстояние от изображения наклонного пучка до главной оптической оси в фокальной плоскости будет равно \[\begin{aligned}
-f_m\alpha\times \frac{B}{A}\times \frac{B_1}{A_1}\end{aligned}\]
Это расстояние, делённое на \(\alpha\) и есть полное фокусное расстояние системы. Таким образом: \[\begin{aligned}
F=-f_m\times \frac{B}{A}\times \frac{B_1}{A_1}\end{aligned}\]
По способу вычисления, именно эта величина определяет масштаб изображения в фокальной плоскости при использовании приёмника и увеличение телескопа при использовании окуляра.

Актуальность работы. Наверное трудно найти человека, который в течение своей жизни ни разу не любовался радугой. Радуга – это яркое атмосферное оптическое и метеорологическое явление, наблюдаемое обычно после
дождя или перед ним в стороне противоположной по отношению к солнцу
при освещении последним завесы дождя. Она выглядит как дуга или окружность, составленная из цветов спектра видимого света. Данную радугу называют основной, нередко над основной радугой возникает еще одна – вторичная радуга – более широкая и размытая. Между красными краями основной и дополнительной радуг находится относительно тёмная Александрова полоса.
В рамках современной теории рассеяния света помимо основной и вторичной радуг предсказывается существование радуг высших порядков (3, 4, 5 и
т.д.). Получить качественную фотографию основной и вторичной радуг является сложной, но посильной для фотографа-любителя задачей.  В 2010 году американский ученый Реймонд Ли выполнил количественный анализ условий принципиальной возможности получения фотографий
радуг высших порядков. Спустя всего лишь год, в 2011 году, фотографам-
энтузиастам, вооруженным результатами исследования Ли, удалось получить
фотографию радуги третьего порядка (Майкл Гроссман), а затем и четвёртого (Майкл Тауснер).

8 августа 2012 года в штате Нью-Мексико, США Харольд Эденс после детальной обработки смог выявить часть радуги 5-го порядка! Она видна как
небольшой сектор бирюзового цвета в Александровой полосе (рис.2 в работе).

В работе проведёно рассмотрение радуги как оптического явления, выведены основные соотношения, определяющие размер радуг 1-5 порядков.

Скачать Количественный анализ радуг 1-го - 5-го порядков

На сайте ЕстествоЗнание Вы можете скачать работы, рефераты совершенно бесплатно, без регистрации, без смс и подтверждающих email.

Здесь представлено решение задач отсюда:

Задачи по геометрической оптике с сайта ЕстествоЗнание

Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4:

Задача 5:

Задача 6:

Задача 7:

Задача 8:

Задача 10:

Задача 11: