Перейти к содержимому

В этом видео на канале ЕстествоЗнание разобрано: зоны Френеля, амплитудные и фазовые пластинки Френеля, вывод радиуса зон Френеля.

Свет который отражается от границы раздела двух сред всегда частично линейно поляризован 1, даже когда падающий свет неполяризован. Почему? При каких условиях отражённый свет будет полностью линейно поляризован? Как вычислить угол Брюстера?

Смотрите объяснение в видео на канале ЕстествоЗнание:

1 кроме случая нормального падения

Здесь выводится формула Планка и многое другое что для неё нужно: формула Рэлея-Джинса, энергия квантового гармонического осциллятора при температуре Т, число мод электромагнитного излучения в единице объёма и т. д.:

Вот список статей в категории "Волновая оптика":

Часть задач по волновой оптике (без решений) можно скачать с сайта ЕстествоЗнание в формате pdf.

Задача.Из граничных условий для уравнений Максвелла, выведите формулы Френеля для нормального падения света из среды с показателем преломления \(n_1\) в среду с показателем преломления \(n_2\). Будет ли наблюдаться отражение на границе двух различных сред с одинаковыми показателями преломления? Как из результатов Вашего вывода следует правило о потере полуволны при отражении от оптической более плотной среды? Для упрощения вывода, считайте магнитные проницаемости обеих сред равными единице.
Задача. Выведите радиус n-й зоны Френеля когда источник на расстоянии а, а наблюдатель на расстоянии б
Задача.Выведите выражение для интенсивности от дифракции Фраунгофера на щели. Дано: ширина щели \(d\), расстояние до экрана \(L\).
Задача.Выведите выражение для расстояния между соседними светлыми полосами в опыте Юнга. Дано: ширина щелей \(d\), расстояние между ними \(l\), расстояние до экрана \(L\).
Задача.Выведите выражение для угла Брюстера при переходе света из среды с показателем преломления \(n_1\) в среду с показателем преломления \(n_2\).
Задача.Дан свет, левополяризованный эллиптически. Эксцентриситет эллипса равен 0,5. Разложите этот свет на линейную и круговую поляризацию.
Задача.Выведите выражение для дифракционных максимумов отражающей и пропускающей дифракционной решётки. Начиная с какого порядка спектры видимого света (длины волн 450-700 нм) соседних порядков начинают перекрываться?
Задача. Как соотносятся напряжённости в центре, создаваемые а) амплитудной пластинкой Френеля на N зон (чётные зоны открыты, нечётные закрыты) б) фазовой пластинкой Френеля на N зон (при прохождении через нечётнрые зоны фаза изменяется на \(\pi\)) в) линзой на N зон г) одной открытой зоной Френеля д) линзой Френеля на N зон?
Задача. Получите выражение для интенсивности дипольного излучения заряда q гармонически колеблющегося вдоль оси \(x\) с частотой \(\omega\) с амплитудой \(x_0\). Как будет поляризовано это излучение?
Задача. Используя классическую механику и планетарную модель атома Резерфорда, получите выражение для частотного сдвига в эффекте Зеемана. Как будут поляризованы сдвинутое и не сдвинутое по частоте излучение?


Задача.В квантовой механике в гармоническом осцилляторе с частотой \(\nu\) при термодинамическом равновесии при температуре Т содержится энергия: \[\begin{aligned}
<E>=\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\end{aligned}\]
Используя это выражение, выведите формулу Планка (формулу для плотности энергии излучения на данной частоте при термодинамическом равновесии при температуре Т). Получите классический предел формулы Планка, формулу Релея-Джинса и укажите где возникает т. н. ультрафиолетовая катастрофа.
Задача. Выведите формулу для нерелятивистского эффекта Допплера
Задача.Посчитайте фазовую и групповую скорость электромагнитного излучения с частостой \(\omega\) в плазме электронов с концентрацией \(n\). Какая из этих скоростей больше, а какая меньше скорости света?
Задача.Используя уравнения Максвелла, выведите выражение для скорости распространения света в однородной среде с диэектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и магнитной проницаемостью \(\mu\). Вы получили выражение для фазовой или групповой скорости? Получите также выражение для соотношения амплитуд \(E, D, B, H\) в плоской волне, а также их взаимную ориентацию по отношению друг к другу и по отношению к вектору направления распространения волны.
Задача.Как изменится картина в опыте Юнга, если мы посветим на две щели параллельным пучком света не перперндикулярно к экрану где сделаны щели, под некоторым углом к ним?
Задача.Каково соотношение между величинами и направлениями \(E,B,D,H,k,\omega\) в плоской волне, распространяющейся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и магнитной проницаемостью \(\mu\)?
Ответ   Уравнения Максвелла \[\begin{cases}
div\vec D = 4\pi\rho_{free}
\\
rot\vec E = -\frac 1c \frac{\partial \vec B}{\partial t}
\\
div\vec B = 0
\\
rot\vec H = \frac{4\pi}{c} \vec j_{free} +\frac 1c \frac{\partial\vec D}{\partial t}
\end{cases}\]
Если среда однородная и изотропная, то электрическая напряженность \(\vec E\) и магнитная напряженность \(\vec H\) связаны с вектором электрической индукции \(\vec D\) и вектором магнитной индукции \(\vec B\) следующим образом: \(\vec D = \varepsilon \vec E\), \(\vec B = \mu \vec H\)
Т. к. уравнения Максвелла линейны, будем искать решения уравнений Максвелла в виде: \[\begin{aligned}
\vec{E} = \vec {E_o}e^{i(\omega t - (\vec k,\vec r) )}
\\
\frac{\partial \vec E}{\partial t} = i\omega \vec E_o e^{i(\omega t - (\vec k,\vec r) )} = i\omega \vec E
\\
\frac{\partial \vec E}{\partial x} = - i k_x \vec E \Rightarrow
\vec {\nabla} = -i \vec k\end{aligned}\]
Подставляем: \[\begin{aligned}
div\vec D = 0 \Rightarrow div \vec E = [ \vec\nabla \times \vec E] = 0 \Rightarrow \vec k \perp \vec E
\\
div\vec B = 0 \Rightarrow div \vec H = [ \vec\nabla \times \vec H] = 0 \Rightarrow \vec k \perp \vec H
\\
rot\vec E = -\frac 1c \frac{\partial B}{\partial t} \Rightarrow [ \vec\nabla \times \vec E] = -\frac{\mu}{c} \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nonumber \Rightarrow -i[ \vec k , \vec E] = -\frac{\mu}{c} i\omega\vec H \Rightarrow [ \vec k \times \vec E] = \frac{\mu}{c} \omega \vec H \Rightarrow \vec E \perp \vec H \perp \vec k \end{aligned}\]

Получаем, что вектора \(\vec{k},\vec{E},\vec{B}\) взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов. Рассмотрим модули векторов \[\begin{aligned}
kE = \frac{\mu}{c} \omega H \Rightarrow \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt {\varepsilon \mu}} \quad kH=\frac{\varepsilon\omega}{c}E \Rightarrow\\
\frac{\omega^2}{k^2}=\frac{c^2}{\mu\varepsilon} \Rightarrow \\
E = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}H,\quad D = \varepsilon E
\\
H = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E, \quad B = \mu H \end{aligned}\]

Задача.Почему небо голубое, а Солнце на закате красное?
Задача.Пусть интерферируют два пучка с напряжённостями \(E_1,E_2\). Каков будет результат интерференции если разность хода равна а) \(\lambda\) б) \(\lambda/2\) в) \(3\lambda/4\) г) \(\lambda/3\). Выведите формулу для произвольной разности хода \(d\).
Ответ  Интенсивность \(J\) и напряженность \(E\) связаны: \(J \sim E^2\). Интенсивность двух полей \(J_{\sum} = J_1 + J_2 +2\sqrt{J_1J_2}cos(\delta \varphi)\). Разность хода \(\Delta\) и разность фазы \(\delta\varphi\) связаны: \(\Delta = \frac{\lambda}{2\pi} \delta\varphi\).
а) \(\Delta = \lambda: J_{\sum}=J_1+J_2+2\sqrt{J_1J_2}\).
б) \(\Delta = \frac{\lambda}{2} : J_{\sum}=J_1+J_2-2\sqrt{J_1J_2}\)
в) \(\Delta = \frac{3\lambda}{4} : J_{\sum}=J_1+J_2\)
г) \(\Delta = \frac{\lambda}{3} : J_{\sum}=J_1+J_2-\sqrt{J_1J_2}\)
д) \(\Delta = X: J_{\sum} = J_1 + J_2 +2\sqrt{J_1J_2}cos(\frac{2\pi}{\lambda} X)\)


Задача.Откуда взялось \(\frac18\) в выводе формулы Планка или Рэлея-Джинса? Иными словами, объём сферического слоя равен \(4\pi k^2dk\), а у нас в формуле мы рассматриваем только объём \(\frac{\pi}{2}k^2dk\).
Задача.Как работает антибликовый фильтр на фотоаппарат?
Задача.Определение зон Френеля гласит, что разность хода от краёв зоны Френеля равна \(\lambda/2\). По этому определению, понятно почему напряжённости от соседних зон Френеля представляются противоположно направленными векторами, но непонятно почему длины этих векторов равны. Почему равны длины векторов от разных зон Френеля (по-другому, почему от каждой зоны Френеля напряжённость одинакова?)
Задача.
Какой фазовый множитель приобретается при потере а) \(\lambda\) б) \(\lambda/2\) в) \(3\lambda/4\) г) произвольного \(\Delta x\)? Заполнить таблицу .

соответствующие значение разности хода, фазового сдвига, разности хода
Разность хода Фазовый множитель разность фазы
0 ? ?
\(\frac34\lambda\) ? ?
\(\frac{-\lambda}{2}\) ? ?
\(\frac23\lambda\) ? ?
\(-\lambda\) ? ?
? 1 ?
? -1 ?
? \(i\) ?
? \(-i\) ?
? \(e^{\frac{2\pi}{3}i}\) ?
? ? 0
? ? \(-\frac{\pi}{6}\)
? ? \(\frac{\pi}{2}\)
? ? \(\pi\)
? ? \(\frac{4\pi}{3}\)


Ответ   см. таблицу

соответствующие значение разности хода, фазового сдвига, разности хода. Заполненная таблица [tab:fazy].
Разность хода Фазовый множитель разность фазы
0 1 0
\(\frac34\lambda\) -i \(\frac{3\pi}{2}\)
\(-\frac{\lambda}{2}\) -1 \(-\pi\)
\(\frac23\lambda\) \(e^{\frac{4\pi}{3}i}\) \(\frac{4\pi}{3}\)
\(-\lambda\) 1 \(-2\pi\)
\(\lambda\) 1 \(2\pi\)
\(\frac12\lambda\) -1 \(\pi\)
\(\frac14\lambda\) \(i\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac34\lambda\) \(-i\) \(\frac{3\pi}{2}\)
\(\frac13\lambda\) \(e^{\frac{2\pi}{3}i}\) \(\frac{2\pi}{3}\)
0 1 0
\(-\frac{\lambda}{12}\) \(e^{\frac{\pi}{6}i}\) \(-\frac{\pi}{6}\)
\(\frac12\lambda\) i \(\frac{\pi}{2}\)
\(\lambda\) -1 \(\pi\)
\(\frac23\lambda\) \(e^{\frac{4\pi}{3}i}\) \(\frac{4\pi}{3}\)

Задача. На амплитудную пластинку Френеля, сделанную для \(a=b=20\) см, \(\lambda_0=500\) нм, падает параллельный пучок света с длиной волны \(\lambda=1000\) нм. Что произойдёт со светом после прохождения зонной пластинки Френеля?
Задача.Сколько фокусов у амплитудной пластинки Френеля с \(N\) зонами? А у фазовой?
Задача.Нарисуйте картинку нормального падения линейнополяризованной электромагнитной волны на поверхность раздела сред для случая а) падения в более оптическую плотную среду б) падения в оптически менее плотную среду. Из рисунка должны быть видны относительные величины, направления векторов \(\vec{E},\vec{B}\). Для простоты считать \(\mu=1\) для обеих сред.
Задача.Найдите угол, на который расходится пучок света длиной волны \(\lambda\). Ширина пучка равна \(d\).Для оценки этого угла возпользуйтесь формулой для интенсивности дифракции Фраунгофера на щели.
Задача.Нарисуйте картину получаемую от дифракционной решётки с \(N=5\) щелями и безконечно малой шириной одной щели.
Задача. На пианино играют ноту "Ми". Слушатель слышит ноту "Фа" той же октавы. С какой скоростью и в каком направлении двигается пианино? Пусть нота Ля первой октавы, Ми и Фа - второй октавы. Ноту Ми играют на пианино, приемник регистрирует ноту Фа.
Ответ   \(\nu_{La} = f_1 = 440\) Гц. Известно, что отношение частот двух соседних полутонов \(q = \sqrt[12]{2}\). Тогда \(\nu_{Mi} = f_1 q^{7}\), \(\nu_{Fa} = f_1 q^{8}\). \(\nu_{Mi} < \nu_{Fa}\,\,\, \Rightarrow\) частота принимаемого излучения больше чем частота излучения, поэтому пианино движется в сторону к наблюдателю-приемнику (эффект Доплера) со скоростью \[\begin{aligned}
v = v_{sound}\frac{\nu_2-\nu_1}{\nu_1} \approx 20,4 \quad {\rm m/s.}\end{aligned}\]