Перейти к содержимому

Какъ решать линейныя дифференциальныя уравненія

Пусть у нас есть неизвѣстная функція времени \(x(t)\). Уравненіе, в которое неизвестная функція, а также её производные, входятъ линейно, называется линейнымъ обыкновеннымъ дифференциальнымъ уравненіемъ: \[\begin{aligned}
A_n(t)x^{(n)}(t)+A_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\dots + A_1(t)\dot x(t) +A_0(t)x(t)=B(t), \end{aligned}\]
где \(x^{(n)}(t)\) - производная функціи \(x(t)\) порядка \(n\). Это и есть самый общій видъ линейнаго дифференціальнаго уравненія. Настолько общій, что наука даже не умѣетъ решать такіе уравненнія въ общемъ видѣ, рецепты построенія решеній существуютъ только для отдѣльныхъ частныхъ случаевъ.

Линейныя уравненія съ постоянными коэффициентами

Линейныя дифференциальные уравненія съ постоянными коэффициентами - это дальнѣйшѣе упрощеніе линейныхъ уравненій. Если все коэффициенты въ линейномъ уравненіи не зависятъ отъ времени (т. е. все \(A_i(t)\) въ видѣ ([ur:lin]) не зависятъ отъ \(t\)), то мы имѣемъ дѣло съ линейным уравненіемъ съ постоянными коэффициентами: \[\begin{aligned}
A_nx^{(n)}(t)+A_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\dots + A_1\dot x(t) +A_0x(t)=B(t), \end{aligned}\]
При этомъ \(B(t)\) всё ещё имѣетъ видъ произвольной функціи времени. Такіе уравненія возникаютъ во многихъ физическихъ задачахъ, напримеръ, в задаче о малыхъ колебаніяхъ. Эта задача очень распространена въ физикѣ, поэтому стоитъ разсмотрѣть её подробнѣе, чемъ мы и займёмся ниже.

Какъ же можно решить линейные уравненія съ постоянными коэффициентами? Пока что решимъ однородное уравненіе, т. е. такое уравненіе при которомъ \(B(t)=0\). Отвѣтъ можно найти въ геніальной замѣнѣ: \[\begin{aligned}
x(t)=C_1 e^{\lambda t} \end{aligned}\]
Экспонента - такая замѣчательная функція, для неё взятіе производной сводится къ умноженію на постоянную (въ нашемъ случае, на \(\lambda\)). Т. е (провѣрьте, если это для Васъ неочевидно!). \[\begin{aligned}
\dot x=C_1 \lambda e^{\lambda t}=\lambda x \\
\ddot x=C_1\lambda^2 e^{\lambda t}=\lambda^2 x \\
\dots \nonumber\end{aligned}\]
Такимъ образомъ, при подстановкѣ экспоненты ([ur:exp]) въ уравненіе съ постоянными коэффициентами, оно сводится къ обычному алгебраическому уравненію для \(\lambda\): \[\begin{aligned}
A_n\lambda^n+A_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+A_1 \lambda +A_0=0 \end{aligned}\]
Это уравненія называется характеристическимъ уравненіемъ для изходнаго уравненія ([ur:linpost]). Нетрудно видѣть, что если значеніе \(\lambda\) удовлетворяетъ характеристическому уравненію, тогда подстановка ([ur:exp]) удослетворяетъ всему уравненію ([ur:linpost]). У характеристического уравненія есть \(n\) корней въ комплексныхъ числахъ, съ учётомъ кратности. У дифференціального уравненія должно быть \(n\) независимыхъ решеній, такъ что если все корни характеристического уравненія различны, тогда все \(n\) независимыхъ решеній уравненія ([ur:linpost]) имѣютъ видъ ([ur:exp]) со всеми корнями характеристического уравненія ([ur:charur]).

Вопросы для домашнихъ размышленій.
1) Что дѣлать если у характеристического уравненія есть кратные корни? Нашъ наивный методъ уже не дастъ все необходимые независимые решенія. Попробуйте найти отвѣтъ для простейшихъ случаевъ, такихъ какъ \(\ddot x=0\) и \(\ddot x+2\dot x+x=0\)
2) Какъ решать неоднородныя уравненія, т. е. уравненія когда \(B(t)\ne 0\)? Подсказка: Вамъ поможетъ решеніе однороднаго уравненія.

Несмотря на то что статья называется "Линейныя дифференціальные уравненія", она не покрываетъ ихъ полностью. Она призвана заставить Васъ задуматься. Отвѣты на вопросы, а также многое другое мы разберёмъ въ следующихъ статьяхъ.

ЕстествоЗнаніе - увлекательно о наукѣ для всехъ!

Добавить комментарий